计算几何 – 三维向量的点乘、叉乘的概念、几何意义以及如何使用C++计算

1 三维向量点乘

1.1 三维向量点乘的概念

两个三维向量的点乘又称为点积、数量积或者标量积（Scalar Product）。

假设三维空间中有两个三维向量：\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)，\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)，\vec{a}和\vec{b}之间的夹角为\theta。

数学角度上，两个三维向量的点积是两个向量对应位置的值相乘然后相加，如下

几何角度上，两个三维向量的点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积，如下

1.2 三维向量点乘的几何意义

三维向量的点积表示向量\vec{a}在向量\vec{b}方向上的投影与\left|\vec{b}\right|的乘积，反应两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似。

通过三维向量点乘结果可以判断两个向量是否同向、垂直，比如

（1）\vec{a}\cdot\vec{b}>0，点乘结果大于0，则表示两个向量方向基本相同，两个向量的夹角在\text{0°}和\text{90°}之间

（2）\vec{a}\cdot\vec{b}=0，点乘结果等于0，则表示两个向量正交，相互垂直

（3）\vec{a}\cdot\vec{b}<0，点乘结果小于0，则表示两个向量方向基本相反，两个向量的夹角在\text{90°}和\text{180°}之间

1.3 根据三维向量点乘求解两个向量之间的夹角

可以根据以下公式求解两个向量之间的夹角

其推导过程如下。

假设\vec{a}的终点为A(x_1,y_1,z_1)，\vec{b}的终点为B(x_2,y_2,z_2)，原点为O。

则

在\triangle OAB中，由余弦定理

使用距离公式进行处理，可得：

去括号后合并

换位即可得上面求解夹角的公式。

1.4 使用C++计算两个三维向量的点乘

示例代码如下

#include <iostream>

struct Point3f
{
    float x;
    float y;
    float z;

    Point3f()
    {
        x = 0.0;
        y = 0.0;
        z = 0.0;
    }

    Point3f(float x_in, float y_in, float z_in)
    {
        x = x_in;
        y = y_in;
        z = z_in;
    }
};

typedef Point3f Vector3f;

// 计算两个三维向量的点积
float DotProduct(Vector3f u, Vector3f v)
{
    return u.x * v.x + u.y * v.y + u.z * v.z;
}

int main()
{
    Vector3f vector_a(1.0, 2.0, 3.0);
    Vector3f vector_b(4.0, 5.0, 6.0);

    float dot_product_res = DotProduct(vector_a, vector_b);
    std::cout << "向量点乘 = " << dot_product_res << std::endl;

    return 0;
}

2 三维向量叉乘

2.1 三维向量叉乘的概念

两个三维向量的叉乘又称为外积、向量积。

假设三维空间中有两个三维向量：\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)，\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)，\vec{a}和\vec{b}之间的夹角为\theta。

数学角度上，两个三维向量的叉乘计算如下

几何角度上，两个三维向量的叉乘计算如下

其中，\vec{n}为垂直于\vec{a}与\vec{b}所在平面的单位向量。

两个三维向量叉乘的结果是一个三维向量，并且该向量垂直于\vec{a}与\vec{b}所构成的平面，也就是与\vec{a}与\vec{b}都垂直，是\vec{a}与\vec{b}所在平面的法线向量，其方向通过右手法则进行判断，如下图所示

2.2 三维向量叉乘的几何意义

如果以向量\vec{a}与向量\vec{b}的边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。

2.3 使用C++计算两个三维向量的叉乘

示例代码如下

#include <iostream>

struct Point3f
{
    float x;
    float y;
    float z;

    Point3f()
    {
        x = 0.0;
        y = 0.0;
        z = 0.0;
    }

    Point3f(float x_in, float y_in, float z_in)
    {
        x = x_in;
        y = y_in;
        z = z_in;
    }
};

typedef Point3f Vector3f;

// 计算两个三维向量的叉积
Vector3f CrossProduct(Vector3f u, Vector3f v) {
    Vector3f retult;
    retult.x = u.y * v.z - v.y * u.z;
    retult.y = u.z * v.x - u.x * v.z;
    retult.z = u.x * v.y - u.y * v.x;
    return retult;
}

int main()
{
    Vector3f vector_a(1.0, 2.0, 3.0);
    Vector3f vector_b(4.0, 5.0, 6.0);

    Vector3f cross_product_res = CrossProduct(vector_a, vector_b);
    std::cout << "向量叉乘 = " << cross_product_res.x << "," << cross_product_res.y << "," << cross_product_res.z << std::endl;

    return 0;
}

参考链接

• https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9%E7%A7%AF
• https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/359975221